خب ، یه مقداری روش وقت گذاشتم و به جواب رسیدم : )

همونطوری که میدونید ، یه قضیه داریم به شرح زیر :

فرض کنید $A$ مجموعه ای $n$ عضوی و $a$ عضوی از $A$ باشد تعداد زیر مجموعه هایی از A که شامل $a$ باشند برابر است با :

خب پاسخ قسمت 1 و 2 به ترتیب برابره با و

اما قسمت 3 :

گفته $k$ کوچکترین عضو و $l$ بزرگترین عضو باشه ، به همین دلیل ، اومدم و مسئله رو به دو قسمت افراز کردم :
1- تعداد زیرمجموعه هایی که $k$ در آن ها وجود داشته باشه
2-تعداد زیر مجموعه های حالت 1 ، که $l$ در آن ها وجود داشته باشه

برای به دست آوردن حالت 1 ، کار سختی در پیش نداریم ، کافیه $k$ رو کوچکترین عضو و $l$ رو بزرگترین عضو مجموعه قرار بدیم ، یعنی این تعداد زیر مجموعه داریم که $k$ در آن ها موجود هست :

حالا میرسیم به حالت دوم :

خب فرض کنیم ، تعداد زیر مجموعه های حالت $1$ باشه..
به این صورت هست زیر مجموعه ها :

خب حالا این مجموعه ها را با $l$ اجتماع میکنیم:

یک تناظر یک به یک بین زیرمجموعه هایی که دارای $l$ هستند و زیر مجموعه هایی که دارای $l$ نیستند به وجود میاد

یعنی تعداد زیر مجموعه هایی که دارای $l$ هست برابره با :

و این قسمت به راحتی حل میشه ! : )

و قسمت 4 : با حل قسمت 3 حل کردن این قسمت خیلی خیلی آسون میشه ! ما 4 حالت داریم :
1- هم $l$ و $k$ در زیر مجموعه ها وجود داشته باشند
2- فقط $l$ در زیرمجموعه ها وجود داشته باشد
3- فقط $k$ در زیرمجموعه ها وجود داشته باشد
4- هیچکدام در زیرمجموعه ها وجود نداشته باشند

یعنی از تقسیم همه ی زیر مجموعه ها به 4 جواب به دست میاد :