روی تعداد دایره ها استقرا میزنیم

حالت پایه (یک دایره) بدیهیه

استقرا: فرض کنیم به ازای n-1 دایره حکم درست باشه و n دایره روی صفحه داشته باشیم؛ یکی از این دایره ها مثل الف رو انتخاب میکنیم و اون رو در نظر نمیگیریم (پاک میکنیم) و ناحیه های صفحه رو با دو رنگ رنگ میکنیم به طوری که نواحی مجاور همرنگ نباشن، طبق فرض میتونیم این کارو بکنیم

حالا الف رو دوباره رسم میکنیم، و رنگ همه نواحی ایجاد شده داخل این دایره رو عوض میکنیم، میدونیم که این نواحی قبلا جزء ناحیه های دیگه ای بودن پس اگه مجاور باشن در ابتدا ناهمرنگ بوده اند و وقتی رنگ هر دو رو عوض میکنیم باز هم ناهمرنگند

نواحی مجاوری که هر دو بیرون از دایره الف هستن هم قبلا جزء نواحی مجاور بودن پس ناهمرنگ بودن و چون بیرون از الف هستن بهشون دست نزدیم پس هنوز ناهمرنگ هستن

میمونه نواحی مجاوری که یکی داخل الفه و یکی بیرون الف؛ کمان مجاور این نواحی قسمتی از محیط الفه پس قبل از رسم الف این دو ناحیه یکی بوده اند پس هم رنگ بوده اند اما ما رنگ اونی که داخل بوده رو عوض کردیم و بیرونی رو دست نزدیم پس این نواحی مجاور هم ناهمرنگ هستن

این سه حالت همه حالتها بودن پس هیچ دو ناحیه مجاوری هم رنگ نیستن، به این ترتیب حکم برای n هم درسته و استقرا تمام!

اگه شکل حاصل از این دایره را با گرافی مدل سازی کنیم که نقاط تقاطع کمان ها راس های گراف باشند و کمان ها یال های گراف. این گراف را G می نامیم

اگر بتوانیم دوگان گراف G را با دو رنگ رنگ آمیزی سره کنیم، می توانیم بخش متناظر با هر راس در G را به همان رنگی که راس در دوگان G داشته رنگ کنیم.

از طرفی می دانیم دوگان هر گراف مسطح که درجه ی تمام راس های آن زوج باشد یک گراف دوبخشی است. پس چون G مسطح است، بنابراین دوگان G دوبخشی است.

می دانیم هر گراف دوبخشی را می توان با دو رنگ رنگ آمیزی سره کرد. پس دوگان G را می توان با دو رنگ رنگ آمیزی سره کرد. و می توانیم بخش متناظر با هر راس در G را به همان رنگی که راس در دوگان G داشته رنگ کنیم. پس می توانیم بخش های بین یال های گراف G را با دو رنگ به گونه ای رنگ آمیزی کنیم که هر دو بخشی که یال مشترک دارند رنگشان متفاوت باشد.