فرض کنیم 2n نقطه در صفحه داشته باشیم که هیچ سه تایی همخط نیستن، پاره خط بین هر دو تا از این نقاط را رسم میکنیم. این پاره خطها صفحه را به تعدادی ناحیه افراز میکنند. هر ناحیه یک چندضلعی خواهد بود

به ازای هر دو نقطه از یک ناحیه دلخواه، مجموعه مثلثهایی که شامل این دو نقطه هستند برابرند، پس هر مثلث یا تماما یک ناحیه را در بر میگیرد یا شامل هیچ قسمتی از آن نیست

دو ناحیه مجاور (دارای ضلع مشترک) مانند الف و ب را در نظر میگیریم: پاره خطی که شامل ضلع مشترک دو ناحیه است را پ مینامیم. به ازای هر مثلثی که پ ضلعی از آن نیست، یا هر دو ناحیه داخل آن مثلث هستند یا هیچ یک نیستند. و مثلثهایی که پ ضلعی از آنهاست هر یک شامل دقیقا یکی از این دو ناحیه هستند

پس تفاوت مجموعه مثلثهای شامل این دو ناحیه فقط در مثلثهای تشکیل شده از پ است که تعداد آنها 2n-2 است که مقداری زوج است. زوجیت تعداد مثلثهایی از این مجموعه که شامل الف هستند با زوجیت تعداد آنهایی که شامل ب هستند یکی است چون مجموع آنها زوج است

در نتیجه زوجیت تعداد کل مثلث های شامل الف با زوجیت تعداد کل مثلثهای شامل ب یکی است. از آنجا که با شروع از هر ناحیه و حرکت در ناحیه های مجاور میتوان به هر ناحیه دیگر رسید، پس زوجیت هر دو ناحیه و در نتیجه همه نواحی برابر است

هیچ مثلثی شامل ناحیه بیرونی نیست، پس عدد مورد نظر برای ناحیه بیرونی صفر (زوج) است پس به ازای همه نواحی این عدد زوج است؛ یعنی نقطه قرمز در هر ناحیه ای که باشد عضو زوج تا مثلث است