فرض کنیم داریم $A = \lbrace a_1, a_2, ..., a_16\rbrace $ ، به این صورت که $a_i \equiv 0 (mod 2)$ به ازای هر $1 \le i \le16$ .
و همچنین داریم $B = \lbrace b_1, b_2, ..., b_16\rbrace $ ، به این صورت که $b_i \equiv 1 (mod 2)$ به ازای هر $1 \le i \le 16$ .
ثابت میکنیم که اگه قرار باشه هیچ دوتایی ای پیدا نشه که جمعش برابر 65 بشه، آنگاه مجموع اعضای $A$ و $B$ نمیتوانند برابر باشند.
هر عدد زوج $x$ رو با عدد فرد $65 - x$ تناظر میدهیم. داریم به ازای هر $a \in A$ ، $65 - a \notin B$. درکل ما 32 تا عدد فرد داریم و برای 16تاشون میدونیم عضو $B$ نیستن پس :
($B \subseteq (\lbrace1, 3, ..., 63 \rbrace - \lbrace 65 - a_1, 65 - a_2, ..., 65v - a_16 \rbrace$
و چون $ |B| = 16$ $:$
$B = (\lbrace1, 3, ..., 63 \rbrace - \lbrace 65 - a_1, 65 - a_2, ..., 65 - a_16 \rbrace$
پس مجموعه ی $B$ از روی مجموعه ی $A$ بصورت یکتا در میاد. خب ... بیاین مجموع اعضاشون رو حساب کنیم! $Sum_A =\sum_{i=1}^{16} a_i$ و
$Sum_B = 64 * 16- \sum_{i=1}^{16}(65 - a_i) = 64 * 16 - 16 * 65 + Sum_A = Sum_A - 16$
$^_^$

برای هر یک از اعداد مجموعه اصلی، دقیقا یک عدد وجود دارد که مجموعشان ۶۵ میشود که آن را «مکمل» می نامیم. مثلا مکمل ۳ برابر است با $65-3=62$. زیرمجموعه ۱۶ عضوی انتخاب شده از اعداد فرد را $A$ و زیرمجموعه اعداد زوج را $B$ می نامیم. باید ثابت کنیم حداقل یک جفت «مکمل» در بین اعضای انتخاب شده وجود دارد.

برهان خلف: فرض کنید مکمل هیچ یک از اعضای انتخاب شده $A$ در بین اعضای $B$ نیست. زیرمجموعه اعداد فرد انتخاب نشده را $C$ و زیرمجموعه همه اعداد زوج انتخاب نشده را $D$ می نامیم (هر یک از این ۴ زیرمجموعه ۱۶ عضو دارد). چون $A$ شامل ۱۶ عدد است، پس ۱۶ مکمل برای اعضا $A$ وجود دارد (که همگی زوج هستند) و چون هیچ یک از آنها در $B$ نیستند باید همگی در $D$ باشند، یعنی $D$ دقیقا مجموعه مکمل های اعضای $A$ است. به همین ترتیب $C$ دقیقا مجموعه مکمل های اعضای $B$ است.

حال $a,b,c,d$ را به ترتیب مجموع اعضای مجموعه های $A,B,C,D$ می نامیم. طبق فرض سوال مجموع اعضای $A$ با $B$ برابر است. در نتیجه $a=b$. از سوی دیگر چون هر عضو $D$ مکمل دقیقا یک عضو $A$ است و مجموع یک زوج مکمل ۶۵ است پس $d+a=16\times 65$. به همین ترتیب $b+c=16\times 65$. در نتیجه $a+d=c+b$.

با مساوی قرار دادن $a$ و $b$ نتیجه میگیریم $c=d$. پس داریم $a+c=b+d$ یعنی مجموع کل اعداد فرد بین ۱ تا ۶۴ با مجموع کل اعداد زوج این بازه برابر است، که این یک تناقض آشکار است چرا که هر عدد زوج این بازه دقیقا یک واحد از عدد فرد ماقبل خود بزرگتر است، لذا مجموع اعداد زوج ۳۲ واحد از مجموع اعداد فرد بیشتر است.

http://paste.ubuntu.com/7579903/ کدش 16 عدد می گیره بعد اعداد مورد نظرو می ده