پاسخ درست ۶ هست.

تعداد اعداد را $n$ می نامیم و فرض میکنیم $n=4k$ (در این مساله $k=348$).

الگوریتم به این صورت است: (۱) نیمه پایین (۲) نیمه بالا (۳) نیمه وسط (۴) نیمه پایین (۵) نیمه بالا (۶) نیمه وسط

منظور از نیمه پایین جایگاه های ۱ تا $2k$ هست. به همین ترتیب نیمه بالا شامل جایگاه های $2k+1$ تا $4k$ خواهد بود و نیمه وسط جایگاه های $k+1$ تا $3k$.

حالا ثابت میکنم این الگوریتم درست کار میکند: $k$ عدد کوچکتر رو در نظر بگیرید (که بعد از مرتب سازی باید به ترتیب در جایگاه های ۱ تا $k$ قرار بگیرند). هر کدام از این اعداد که در نیمه پایین قرار داشته باشند بعد از گام (۱) در $k$ جایگاه نخست قرار میگیرند. هر کدام از آنها که در نیمه بالا باشند پس از گام (۲) حتما در بین جایگاه های $2k+1$ تا $3k$ خواهند بود، و پس از گام (۳) به نیمه پایینی جدول منتقل میشوند. پس تا اینجا کل $k$ عدد کوچکتر در نیمه پایینی هستند، و گام (۴) باعث میشود همه آنها به صورت مرتب شده در $k$ جایگاه نخست قرار بگیرند.

استدلال آن که $k$ عدد بزرگتر پس از گام (۵) به صورت مرتب در جای خود قرار میگیرند هم مشابه است. فقط کافی است ثابت کنیم اعداد نیمه وسط جدول هم با این الگوریتم مرتب میشوند.

چون پس از گام (۵) $k$ عدد کوچکتر و $k$ عدد بزرگتر سر جای خودشان هستند، پس اعداد متعلق به نیمه وسط مجبورند پس از گام (۵) در نیمه وسط قرار گرفته باشند. بدیهی است گام (۶) باعث مرتب سازی آنها میشود.

اما برای آن که استدلال کنیم ۴ عمل جادویی! کم است (۵ عمل داخل گزینه ها نیست :-)

مثال نقض: ترتیب معکوس - فرض کنید اعداد دقیقا به ترتیب عکس در جایگاه ها قرار گرفته اند (از $n$ تا $1$).

برای آن که عدد ۱ به جای خودش باز گردد حتما باید یک بار بازه بالایی جدول (از $2k+1$ تا $4k$) مرتب شود (چون فقط و فقط این بازه شامل جایگاه $4k$ میشود). در این حالت عدد ۱ به جایگاه $2k+1$ منتقل میشود. یکی از گامهای پس از آن میبایست شامل جایگاه های $2k$ و $2k+1$ باشد (در غیر این صورت عدد ۱ هیچ گاه به نیمه پایین جدول منتقل نمیشود). نکته مهم اینجاست که گام مذکور نمیتواند شامل دو جایگاه $1$ یا $n$ باشد. پس از آن میبایست یک گام بازه پایینی جدول (از $1$ تا $2k$) را مرتب کند، چون این تنها بازه ای است که شامل جایگاه $1$ میشود.

پس تنها راه رساندن عدد ۱ به جایگاه خودش آن است که سه گام مذکور به ترتیب اجرا شوند. حال تنها یک گام (که آن را گام اضافه می نامیم) باقی می ماند که میتواند قبل یا بعد یا در بین سه گام بالا اجرا شود. ثابت میکنیم حتی با آن گام نمیتوان عدد $n$ را به جایگاه خود رساند. اگر نخستین باری که عدد $n$ (که در ابتدای کار در جایگاه $1$ قرار دارد) جابه جا میشود گام سوم بالا باشد، پس از آن عدد $n$ همچنان در نیمه پایینی جدول قرار دارد و با گام اضافه نمیتوان آن را به جایگاه خودش رساند.

تنها حالت باقیمانده آن است که قبل از گام سوم، با استفاده از گام اضافه عدد $n$ را جابه جا کرده باشیم. پس گام اضافه دقیقا روی نیمه پایین قرار میگیرد (چون تنها بازه ای است که شامل جایگاه $1$ میشود). در این حالت هم شانس رساندن آن به جایگاه آخر را از دست خواهیم داد، چرا که تنها موقعیت انتقال عدد $n$ به نیمه بالای جدول در گام دوم بالا پیش می آید (تنها گامی که شامل اعداد نیمه پایین و نیمه بالا میشود). پس از آن فقط گام سوم بالا را داریم که روی نیمه پایین اجرا میشود، لذا عدد $n$ در میان راه می ماند.

مطالعه بیشتر

این سوال مربوط به مبحث شبکه های مرتب سازی یا Sorting Network میشود. یک قضیه جالب از این مبحث اینچنین است: اگر یک شبکه مرتب سازی بتواند در مورد تمامی ورودی هایی که فقط شامل ۰ و ۱ میشود درست کار کند (در انتها ۰ ها را قبل از ۱ ها قرار دهد)، در مورد هر ورودی دیگر از اعداد دلخواه (مثلا حقیقی) هم درست کار میکند!

برای مطالعه بیشتر میتوانید به کتاب مقدمه ای بر الگوریتمها نوشتن «توماس کورمن» و همکاران، که قبلا ترجمه آن چاپ شده است، مراجعه کنید.