منبع : یکی از دوستان که تایپ کردن جوابو تو وبگاه ریاضی (میخواستم عکس بگیرم بذارم اما دوستمون گفت که قبلا تایپ کرده) نسخه اصلی اینجا

ثابت میکنیم 4 و13 صدق میکنند.

$$ g=xy , e=x+y $$

اگر g بر 53 یا عدد اول بزرگتری بخش پذیر باشد،آنگاه چون x یا y بر آن عدد اول بخشپذیر است و هر دو از 100 کمترند پس از 2∗53 کمترند پس برابر با آن عدد اولند پس جمله اول غلط است چرا که مرتضی می تواند یکی را برابر آن عدد اول ودیگری را برابر g تقسیم بر آن عدد قرار دهد یعنی x,y را بیابد.

از طرفی برابر ضرب دو عدد اول متمایز هم نیست چرا که x,y برابر آن دو عدد میشوند.

حال اگر 154$>e>54 $ پس $ 100≥e−53≥2 $ پس دو عدد 53 و e−53 میتواند اعداد مساله باشند، که در این حالت مشابه استدلال بالا مرتضی می فهمید، پس ادعای مصطفی غلط میشد. به طریق مشابه اگر$ 198>e>153 $با در نظر گرفتن 97 به جای 53 در راه حل قبل این حالت نیز رد میشد. از طرفی e<200 چرا که x,y<100 اعدادی طبیعی و متمایزند. پس$ 5≤e≤199 $پس با بررسی حالات 199 و 198 به دست می آوریم که e≤54

اما در حالت 199 آنگاه یکی از اعداد 100 و دیگری 99 است که تناقض است زیرا ضربشان 9900 واضح است. حالت دیگر نیز به همین شکل بدیهی است.

از طرفی با یک حالت بندی بدیهی، e ما طبق جمله دوم و نابرابری $ 54≥e≥5 $زوج نیست (جمع دو عدد اول متمایز) چرا که با بررسی 25 حالت بدیهی رد میشود.

پس e فرد است اما باز هم جمع دو عدد اول نیست پس جمع 2 و یک عدد اول هم نیست. از طرفی 51 هم نیست زیرا به ازای x=17 و y=34 تنها حالتی است که xy برابر 578 است.(چرا که هیچ کدام از x , y بر 289 بخش پذیر نیست زیرا از 100 کمتر است. پس هر کدام بر 17 بخش پذیر است و یکیشان نیز بر 2 بخش پذیر است پس یکی 17 و دیگری 34 است پس x,y یکتا تعیین میشوند. که با جمله دوم در تناقض است.) پس عضو مجموعه زیر است.

$$ A=11,17,23,27,29,35,37,41,47,53 $$ از طرفی هر عضو این مجموعه در جمله دوم صدق میکند. فرض کنید که اینطور نباشد m را عضوی از مجموعه دوم در نظر بگیرید که به ازای a+b=m ، با داشتن ab بتوانیم a,b را یکتا بیابیم. بنابر تقارن فرض کنید a زوج و دیگری فرد است. یعنی a=2c اگر به جای 2c,b از c,2b استفاده کنیم، آنگاه اگر b,2b,c متمایز باشند و $ 2<2b,c<100 $ حل است چرا که 2b,c متمایزند و زوج مرتب متمایزند.

اگر اینطور نباشد آنگاه یا 2b=c یا b=c یا نابرابری ها غلط است. در حالت اول m=5b پس 35 است چون بر 5 بخش پذیر است.

اما در اینصورت اعدادمان 7و28 هستند و زوج مرتب دیگری که صدق میکند 2و49 است.

درحالت دوم 3b=m پس m=27 اما اعدادمان در این حالت همان 18و9 هستند که زوج مرتب دیگری که صدق میکند 2و81 است.

در حالت آخر یا 2b>100 یا c<2 حالت دوم به راحتی رد میشود زیرا c=1 و طبق فرض b اول نیست و فرد هم هست پس به صورت ضرب دو عدد فرد غیر یک مانند r,s است پس 2r,s هم زوج مرتب دیگری است که صدق میکند.(در نابرابری هم صدق میکنند چون $100>b=rs>2s $)

در حالت اول نیز b>50 پس m=53 پس c=2 و b=51 که به راحتی چون c=1 رد میشود.

پس ثابت کردیم تنها اعدادی در جمله دوم صدق میکنند که e عضو$ A=11,17,23,27,29,35,37,41,47,53 $باشد.(همه این ها هم صدق میکنند)

حال بدیهی است که x,y در حالتی که یکی توانی از 2 و دیگری اول باشند حالا به راحتی توسط مرتضی کشف میشوند چرا که طبق این استدلال او میدانند که e عضو مجموعه بالاست که همه اعضا آن فردند. پس یکی از اعدادمان فرد و دیگری زوج است، پس در این حالت او دقیقا میداند که این اعداد صدق میکنند. پس اعدادی که به دو روش به این صورت باشند در جمله 4 صدق نمیکنند.

یعنی اعداد زیر صدق نمیکنند: 11=8+3=4+7 و 23=16+7=19+4 و 27=23+4=19+8 و 35=31+4=19+16 و 37=32+5=29+8 و 47=43+4=31+16 پس تنها اعدادی که ممکن است صدق کنند$ B=17,29,41,53 $هستند.

اما 53=37+16=17+36 ثابت میکنیم 17 و 36 نیز در جمله 3 صدق میکنند. تا 53 در جمله 4 صدق نکند.این بدیهی است زیرا اگر xy=36∗17 دقیقاً یکی بر 17 و دقیقاً یکی بر 4 بخش پذیر است(یکی زوج و دیگری فرد) اگر این دو یکسان باشند آنگاه یکی 84 است پس e در A نیست.اگر هم آنی که بر 17 بخش پذیر است برابر 17 نباشد مشابه این استدلال حداقل 51 است که تناقض است. پس 53 در جمله 4 صدق نمیکند.

به طریق مشابه، 29=16+13=4+25 نیز صدق نمیکند چرا که اگر زوج مرتبی باشد که xy=100=4∗25 آنگاه یا 25و4 است یا 5و 20 اما 5+20=25 در جمله دوم صدق نمیکند.پس هر دو زوج مرتب 13و16 و زوج مرتب 4و25 در جمله سوم صدق میکنند، پس 29 در جمله 4 صدق نمیکند.

به ازای 41 نیز 41=37+4=38+3 که بدیهتا 37 و 4 صدق میکنند.38 و 3 نیز صدق میکنند، چرا که 38∗3=114

پس یکی از x,y بر 19 بخش پذیر است. اما از آنجا که e حد اکثر 53 است پس این عدد یا 19 یا 38 است. 38 که همین زوج مرتب است و به ازای 19 ، دیگری برابر 6 میشود پس e=25 که در جمله 2 صدق نمیکند.

پس e=17 حال بدیهتا 14و 3 درجمله 3 صدق میکنند.کافیست بگوییم زوج مرتب دیگری در جمله 3 صدق نمیکنند تا بفهمیم این زوج مرتب در جمله 4 صدق میکنند.

دقت کنید که 17=15+2=14+3=12+5=11+6=10+7=9+8

به ازای 15 و 2 زوج مرتب 6 و 5 نیز در جمله 2 صدق میکنند چرا که e=5+6=11 در جمله 2 صدق میکند.پس این در 3 صدق نمیکند.

به ازای 14 و 3 ، 21 و2 را در نظر بگیرید که 21+2=23 .

به ازای 12و5 ، 20 و 3 صدق میکنند که 23=20+3

به ازای 11 و 6 ، 33 و 2 صدق میکنند که 33+2=35

به ازا 10 و 7 ، 2 و 35 صدق میکنند که 37=2+35

به ازای 9 و 8 ، 3و24 صدق میکنند که 24+2=27.

پس تنها زوج مرتب درست همان 13و 4 است. اثبات کامل شد.(2 ساعته دارم تایپ میکنم)

اثبات اینکه اعداد زوج 8 تا 54 به صورت جمع دو عدد اولند:

8=5+3

10=7+3

12=5+7

14=11+3

16=13+3

18=13+5

20=17+3

22=19+3

24=19+5

26=19+7

28=23+5

30=23+7

32=29+3

34=31+3

36=31+5

38=31+7

40=37+3

42=37+5

44=41+3

46=43+3

48=43+5

50=43+7

52=47+5

54=47+7

همچنین 6 نیز در شرایط مساله صدق نمیکند چون در اینصورت x=2,y=4 پس g=8 ، که از آن x,y بدیهتا به دست می آید پس در جمله 1 صدق نمیکند.

هر کدام از زوج‌های زیر می‌تواند جواب باشد: 4، ۱۳ | ۴، ۶۱ | ۱۶، ۷۳ | ۶۴، ۷۳

و اینکه چجور فهمیدم، با استفاده از کد پایتون تمامی حالت‌ها رو نوشتم و هر چهار مکالمه اول دوم سوم و چهارم رو داخلشون تست کردم

(3,4) , (2,6) a jaii ke man midoonam, 1ki az in dotas lotfan jro begzarid, moshtagh e javab hastim, rah e hal ham kamle bashe, in chizi ke man goftam faghad az ro e hads bood, mamnoon

جوابش 2و25 میشه؟؟؟البته از اثباتش اطمینان ندارم:به وضوح حاصل ضرب عدد اول نمیتواند باشد در ضمن حاصلجمع زوج نیز نیست چرا که اگر زوج باشد انگاه چون هر عدد زوج را میتوان به صورت مجموع 2 عدد اول نوشت انگاه جملهی cنقض میشود از مکالمات cمعلوم است که مجموع انهااگرn باشد انگاه باید حاصل ضرب n_iدرiعددی با بیش از 3عامل اول باشدکه این ویژگی را تنها چند عدد 27و57و65و77و87و93و95 دارندو با بررسی عوامل اول هرکدام میتوان فهمید که هر عدد به غیر از 27 را میتوان به صورت ضرب 2عدد نوشت که حاصل جمعشان جمله یcرا نقض کندبنا بر این هر دو نفر اعداد 2 و 25 را مییابند