در هر لحظه از بازی که حداقل ۳۰ دسته تشکیل شده اند، هر زیرمجموعه دلخواه شامل ۳۰ دسته را در نظر میگیریم و جمع سنگریزه های آن را روی یک کاغذ مینویسیم. باید ثابت کنیم عدد ۶۰ را روی کاغذ نوشته ایم.

میدانیم روی کاغذ اعداد بزرگتر از ۶۰ حتما وجود دارند، مثلا زمانی که برای نخستین بار ۳۰ دسته به وجود می آیند مجموع سنگریزه ها برابر ۱۰۰ است. حال از اعداد نوشته شده روی کاغذ کوچکترین عدد مثل $a$ را در نظر میگیریم که $a\geq60$. اگر $a=60$ که حکم ثابت شده. اما اگر $a > 60$: مجموعه $A$ را برابر ۳۰ دسته سنگریزه ای در نظر میگیریم که مجموعشان $a$ سنگریزه میشد و به خاطر آنها عدد $a$ را روی کاغذ نوشته ایم. همچنین $d$ را اختلاف $a$ با ۶۰ در نظر میگیریم ($d=a-60$) و $m$ را اندازه کوچکترین دسته در $A$ می نامیم.

لم ۱ ثابت میکنیم $m>d$. لحظه ای از بازی را در نظر بگیرید که برای نخستین بار یکی از دسته های $A$ به دو دسته شکسته شود. مجموعه حاصل شامل ۳۱ دسته خواهد بود. تعداد سنگریزه های کوچکترین دسته آن را $k$ می نامیم. میدانیم $k\leq m$. حال اگر از ۳۱ دسته مذکور، دسته $k$ تایی را حذف کنیم به ۳۰ دسته میرسیم که مجموعا $a-k$ سنگریزه دارند. میدانیم عدد $a-k$ هم روی کاغذ نوشته شده، پس اگر $a-k\geq60$ با تعریف $a$ به تناقض میرسیم، چرا که $a>a-k$. اما اگر $a-k<60$ چون $a-d=60$ پس $k>d$ و چون $m\geq k$ پس داریم $m>d$.

لم ۲ ثابت میکنیم $d < 2$. اگر $d\geq 2$ طبق لم ۱ داریم $m>d\geq2$ و در نتیجه $m\geq 3$ یعنی همه دسته سنگریزه های $A$ حداقل ۳ سنگریزه دارند. چون تعداد آن ها ۳۰ تا است پس $a\geq 30 \times 3 = 90$ و در نتیجه $d=a-60\geq ۳۰$. حال طبق لم ۱ داریم $m>30$ یعنی مجموع اعضای $A$ حداقل $30\times30$ سنگریزه خواهد بود که چون ۱۰۰ سنگریزه بیشتر نداریم تناقض است.

گام آخر حال فقط باید $d=1$ را بررسی کنیم. اگر $d=1$ یعنی مجموع سنگریزه های $A$ برابر ۶۱ است و طبق لم ۱ کوچکترین دسته آن ۲ عضو دارد. تنها یک حالت برای این موضوع وجود دارد: $A$ شامل ۲۹ دسته ۲ تایی و یک دسته ۳ تایی باشد. نخستین بار که یکی از این ۳۰ دسته تقسیم شوند مسلما یک دسته یک تایی به وجود می آید، با حذف آن به ۳۰ دسته میرسیم که جمعا ۶۰ سنگریزه دارند، یعنی حتما عدد ۶۰ هم روی کاغذ نوشته شده.