بدون استقرا هم به راحتی میشه حلش کرد! حالت اولیه لامپ ها یک زیر مجموعه از مجموعه ی 1 تا nه. حالا ما میایم همه ی زیر مجموعه ها رو دوبار پشت سر هم میزنیم. بنابر این تو هر مرحله اگه لامپ های روشن همین زیر مجموعه باشن همشون خاموش میشن و گرنه دوباره به حالت اولیه بر میگردن. و بالاخره در یک مرحله همشون خاموش میشن.

اولن که کافیه همه حالت های ممکن تغییر دادن لامپا چک بشه که میشه 2 به توان n حالت.اثبات استقراییه.برای یک که درسته.برای n+1 لامپ اول استراتژی برای n لامپو روی لامپای یک تا n میزنیم ،بعد وضعیت لامپ n+1 رو عوض کرده و دوباره استراتژی برای n لامپو روی لامپای یک تا n میزنیم.مطمئنا" حالتی هست که همه لامپا روشن میشن.این کار درواقع همون چک کردن همه حالت هاست.مثلا برای 3 لامپ ترتیب این میشه:(1 یعنی تغییر داده شده نسبت به وضعیت اولیه و 0 یعنی تغییر داده نشده)

0 0 0

1 0 0

0 1 0

1 1 0

0 0 1

1 0 1

0 1 1

1 1 1

موفق باشید!!

با استقرا یا در واقع به طور بازگشتی کاملا قابل حله. به این ترتیب که پایه 1 چراغه که یا در ابتدا b برندست و اگر نیست بعد از یک حرکت برنده میشه. (با انتخاب {1}). حالا فرض کنیم دنباله ای که برای n - 1 تا چراغ جواب میده A1, A2, A3, ... , Ak باشه. (Ai یک زیر مجموعه از چراغاست.) حالا برای n چراغ b دنباله ی زیر رو میگه : n, A1, n, A2, n, A3, ... , n , Ak, n و به این ترتیب حتما مسئله حله و در b برنده میشه، چون فرض کنیم به ازای همین حالت اولیه از لامپ ها همه ی لامپ ها در مرحله ی i ام روشن می شوند. (0 <= n => i که مرحله ی بعد از تغییر وضعیت لامپ های Ai رخ می ده و مرحله ی 0 هم حالت اولیه رو نشون میده) حالا اگه لامپ n ام قبل از اجرای این مرحله روشن باشه که بعد از این مرحله کل لامپا روشن شده؛ اگر نه بعد از روشن کردن لامپ n همه ی لامپ ها روشن می شن. به عنوان مثال برای n = 1 تا n = 3 رو می نویسم: 1 - {1} 2 - {2} , {1} , {2} 3 - {3} , {2} , {3} , {1} , {3}, {2}, {3} 4 - ... لازم به ذکر نیست که از اینکه میشه چند چراغ رو همزمان تغییر وضعیت داد نیز نیاز نیست.