فرض میکنیم کارت ها اول کار از چپ به راست به ترتیب قرار گرفتند. در طی برزدن ها, کارت اول و آخر سر جاشون میمونن پس میتونیم کلن در نظر نگیریمشون! دو تا تغییر در مسئله ایجاد میشه : یکی اینکه داریم $n = 2^k$ و دیگری اینکه هنگام بر زدن, کارت برداشتن رو از دسته ی سمت راستی شروع میکنیم.

جایگاه ها رو از چپ به راست از ۰ تا $2n-1$ شماره گذاری میکنیم. حالا میخوایم ببینیم کارتی که قبلن تو جایگاه $i$ بوده, بعد از برزدن کجا میره. دو حالت داریم:

1) اگه $i < n$ (یا کارت در دسته ی سمت چپ بیفته): اونموقه $i$ جفت کارت قبل از این گذاشته خواهند شد + ۱دونه کارت که قبل این از دسته ی سمت راست میاد؛ پس کارت به جایگاه $2i + 1$ میره.
۲)اگه $i \ge n$ (یا کارت در دسته ی سمت راست بیفته): اونموقه $۲(i - n)$ جفت کارت قبل از این گذاشته خواهند شد پس کارت به جایگاه $2i - 2n$یا $2i - 2^{k+1}$ میره.

حالا هر کارت رو بصورت جدا در نظر میگیریم و ثابت میکنیم که بعد از $2k + 2$ مرحله به جایگاه اولیش برمیگرده.
به هر جایگاه یک رشته ی $k + 1$ بیتی از ۰ و ۱ نسبت میدیم که بیانگر عدد اون جایگاه در مبنای ۲ـه.
اگر به دو حالت بالا دقیق تر نگاه کنیم, میبینیم که در هر بر زدن, سمت چپ ترین(پرارزش ترین) عضو رشته ی جایگاه هر کارت حذف میشه و بصورت برعکس(از ۰ به ۱ و از ۱ به ۰) به سمت راست همان رشته اضافه میشه. خب پس با $k + 1$ بار بر زدن, رشته جایگاه یک کارت $k + 1$ بار شیفت میخوره و بیت هاش برعکس میشن و این یعنی فقط بیت هاش برعکس میشن! پس با دوبار $k + 1$ بار بر زدن (یا $2k + 2$ بار بر زدن!) بیت ها به وضعیت اول خودشون برمیگردن و یعنی هر کارت به جایگاه اولیش برمیگرده! $^_^$