پاسخ برابر 1-2n است.

روش با 1-2n حرکت:

در بین n نفر سود کرده می توان باn-1 حرکت همه ی مبالغ اضافه را به یک نفر داد. این شخص را A بنامید. در بین n نفر ضرر کرده می توان با n حرکت میزان ضررش را با A تصفیه کند. چون مجموع سود و ضرر ها صفر است. پس بعد از این حرکات A نیز با همه تصفیه کرده است. پس همه با 1-2n حرکت با هم بی حساب شدند.

اثبات کمینه بودن:

فرض کنید n نفر سود کرده مبالغ 1+n تومان سود کردند و از بین افراد ضرر کرده 1-n نفر n تومان و 1 نفر 3n تومان ضرر کرده است. حال ثابت می کنیم این مثال حداقل 1-2n حرکت می خواهد :

گرافی 2n راسی را به این صورت می سازیم که هر راس نشان دهنده ی یک شخص است و بین دو راس یال می کشیم اگر دو شخص متناظر با رئوس با هم تبادل پول کنند. اکنون ثابت می کنیم این گراف همبند است. چون اگر همبند نباشد. یعنی بیش از 1 مولفه دارد که در هر مولفه تعدادی سود کرده و تعدادی ضرر کرده وجود دارد حال یک مولفه را در نظر بگیرید فرض کنید در آن i نفر سود کرده و j نفر ضرر کرده باشند.(i و j از 0 بزرگ تر و از n کمتر است) می دانیم این افراد باهم تصفیه حساب کرده اند پس مجموع سود این i نفر با مجموع ضرر این j نفر برابر است ولی این چیز غیر ممکن است چون مجموع سود هر i نفر سود کرده اند (برابر i + in است ) که باقی مانده ی i بر n دارد و مجموع ضرر هر j نفر از افراد ضرر کرده بر n باقی مانده ی 0 دارد پس برابر ی این دو امکان ندارد. ( توجه کنید i صفر و یا n نیست.) پس کل گراف همبند است و حداقل 1-2n یال دارد.

ادعا میکنم 2n-1 در بد ترین حالت لازمه و همیشه کافیه اثبات کافی بودن: یک نفر رو در نظر بگیرید و اون رو ما در خرج بنامید حالا هر کس هر چقدر سود کرده اضافه داره رو به این مادر خرج میده و بعدش هر کس هر چه قدر ضرر کرده رو از مادر خرج میگیره اینجوری همه بی حساب میشوند. لازم بودن : (مثالم اشتباه بود بزودی مثال درست رو قرار میدم)