بازه ها رو بر اساس نقطه ی پایانشون مربت میکنیم، فرض کنیم اولین بازه $A=[a,b]$ باشد، یعنی این بازه بین همه ی بازه های دیگه زودتر تموم میشه.حالا این بازه $A$ رو در نظر نمیگیریم و درستی حکم مسئله رو برای $k-1$ و $n-1 $ بازه ی دیگه بررسی میکنیم اگه حکم درست بود یعنی به ازای هر k بازه حداقل 2 تا شون اشتراک داشته باشند، به صورت استقرایی k-1 عکس از اونا میگیریم و به همراه یه عکس دلخواه از یه قسمت از بازه A ( مثلا نقطه a )

اما اگه شرط برقرار نبود، فرض میکنیم که k تا بازه هستن که هیچ دوتاییشون اشتراک ندارن، ولی طبق فرض اگه ما این k تا بازه رو به همراه بازه A انتخاب کنیم باید حداقل 2 تاشون اشتراک داشته باشن، پس نتیجه میگیریم که بین اون k تا بازه، بازه ای مثل $X=[x,y]$ وجود داره که با A اشتراک داره.

چون طبف فرض میدونیم $y \ge b $ پس نتیجه میشه بازه X حتما از نقطه b میگذره و بازه X رو هم از حذف میکنیم.

این کارو انقدر ادامه میدیم تا شرط برای k-1 بین بازه های باقی مونده برقرار بشه و بعد اون قسمت رو استقرایی انجام میدیم، طبق چیزایی که گفتم بازه هایی که حذف کردیم همشون از نقطه b میگذرن(نقطه ی b رو شامل میشن) پس با گرفتن یه عکس از نقطه b مسئله حل میشه

حالت k=2:

بازه‌هایی را که هر ستاره در آسمان دیده می‌شود را به صورت صعودی بر اساس شروع آن‌ها مرتب می‌کنیم. به این ترتیب شروع آخرین بازه باید قبل از پایان اولین بازه باشد تا این دو بازه با هم اشتراگ داشته باشند. شروع بازه‌های دیگر نیز باید قبل از پایان اولین بازه باشد تا با بازه‌ی اول اشتراک داشته باشند. همچنین پایان بازه‌های دیگر باید بعد از شروع آخرین بازه باشد تا با بازه‌ی آخر اشتراک داشته باشند. به این ترتیب از زمان شروع باره‌ی آخر تا زمان پایان بازه‌ی اول تمام ستاره‌ها دیده می‌شوند. اگر در این زمان عکس بگیریم همه‌ی ستاره‌ها در عکس خواهند بود.

فرض استقرا: فرض کنید برای k=n بتوان تمام ستاره‌ها را (که شرط گفته شده را داشته باشند) در k−1 عکس گنجاند.

k=n+1. ستاره‌ی دلخواه a را به همراه تمام ستاره‌هایی که با آن اشتراک زمانی دارد را در گروه ۱ قرار دهید و مابقی ستاره‌ها را در گروه ۲. طبق استدلالی مشابه با حالت k=2 می‌توان تمام ستاره‌های گروه ۱ را در یک عکس گنجاند. ثابت می‌کنیم که ستاره‌های گروه ۲ شرایط استقرا برای حالت k=n را دارند بنابراین می‌توان آن‌ها را در n−1 عکس جا داد. بنابراین تمام ستاره‌ها در n=k−1 عکس جا داد.

هر دسته‌ی n تایی از ستاره‌های گروه ۲ را که انتخاب کنیم با ستاره‌ی a تشکیل یک گروه ستاره‌ی n+1 ستاره می‌دهند. بنابر این باید دو تا از این ستاره‌ها در یک زمان قابل مشاهده باشند. حال چون a با هیچ یک از ستاره‌های دیگر اشتراک زمانی ندارد باید از بین n ستاره‌ی دیگر دو ستاره وجود داشته باشد که با هم اشتراک زمانی داشته باشند. به این ترتیب ثابت شد که از هر n ستاره در گروه ۲ دو ستاره وجود دارد که اشتراک زمانی داشته باشند. بنابراین طبق فرض استقرا می‌توان این ستاره‌ها را در n−1 عکس گنجاند.

لحظاتی که ستار ه ی iام در آسمان دیده میشود را بازه ی بسته یAiتاBi$میگیریم کهBi>AiوB1 را کوچکترینBiها میگیریم.حال در لحظه ی B1 از آسمان عکس میگیریم.واضح است تمام ستاره هایی که بازه ی زمانی قابل رویت بودن آنها با A1,B1 اشتراک دارد در این عکس اند.حال این ستاره ها را کنار میگذاریم واز بین بقیه ی Bi کوچکترین را انتخاب کرده.مثلا B2 و در آن لحظه عکس میگیریم.و دوباره بازه هاییی که با A2,B2 در این عکس اند.این کار را تا تمام شدن ستاره ها ادامه میدهیم فرض کنیم در این لظه در لحظات B1,B2,...,Bx عکس گرفته باشیم.از سوی دیگر هیچکدام از بازه های A1,B1 , A2,B2 ,...,Ax,Bx اشتراک ندارند.پس طبق فرض مسله x کوچکتر یا مساوی k است.پس حد اکثر k عکس لازم است.