اول برای اثبات به این می پردازیم که تمام این اعداد یا باید زوج باشند یا فرد اثبات ساده است اگر تعدادی فرد وزوج داشته باشیم اگر تعداد فرد ها،زوج باشد یکی از فرد ها را بر میداریم واگر تعداد فردها،فرد باشدیکی از زوج ها را برمی داریم ومیدانیم تعداد فردی عددفرد را نمی توان به دو قسمت برابر تقسیم کرد پس یا همه زوج اند یا فرد حالا کوچکترین عدد را از همه کم می کنیم کوچکترین عدد با کم شدن از خودش 0 می شود(و باز هم شرط مساله برقرار است و صفر زوج است ) پس همه اعداد الآن زوج اند و همچنین بدیهی است اگر همه این اعداد را به هنگ هر عددی بگیری باز هم حکم برقرار است پس همه را به هنگ 2 به توان بی نهایت بگیر0 که 0 می ماند پس بقیه هم باید زوج بمانند وتنها عدد زوج که بعد از گرفته شدن به هنگ 2 به توان بی نهایت زوج می ماند 0 است پس همه اعداد 0اند پس همه اعداد با کم شدن کوچکترین عدد 0 شدند پس همه اعداد برابر اند :)

ابتدا برای n = 1 فرض رو بررسی میکنیم:

3 عدد a_1, a_2, a_3 داریم اگر عدد a_1 حذف شود، a_2 = a_3. و اگر عدد a_2 حذف شود، a_1 = a_3. که نتیجه میشود، a_1 = a_2 = a_3.

حال بررسی میکنیم که اگر پاسخ به ازای عددی مانند i برقرار باشد، پاسخ به ازای عدد i+1 نیز برقرار است:

فرض استقرا: اگر بتوانیم از 2i+1 عدد طبیعی یکی را حذف کنیم به طوری که بتوان 2i عدد باقی مانده را به دو دسته i-تایی با مجموع مساوی تقسیم کنیم، تمامی اعداد برابرند.

حکم به ازای n = i+1 را با فرض استقرا بررسی میکنیم:

اگر به i یک واحد اضافه شود ما دو عضو جدید را شاهد خواهیم بود؛ آنها را a_2n+2 و a_2n+3 می نامیم. و می دانیم a_1 تا a_2n+1 باهم برابرند، آنها را با k نمایش میدهیم.

با حذف هر یک از دو عضو جدید ما 2 مجموعه i+1 عضوی داریم که عضو جدید باقی مانده مثلا a_2n+2 عضو یکی از این دو افراز است و مقدار هر افراز برابر k*(i+1) است. (چون افرازی که شامل a_2n+2 نمیباشد حاوی i+1 تا k است و افراز شامل a_2n+2 نیز باید برابر افراز دیگر باشد.) و با توجه به این عضو باقی مانده یا همان عضو حذف نشده(a_2n+2) نیز برابر k است.

درضمن اگر کسی بلده با لانه حل کنه لطفا بگه.