استقرا ضعیف(!) میزنیم روی n :
پایه:برای n=1 شرط درست می باشد.
فرض:برای n شرط مسئله درست می باشد.
حکم برای n+1 نیز درست می باشد (تمامی اعداد).
راست ترین رقم را تبدیل به صفر میکنیم و سپس هر کار که در n رقم دودویی انجام میدادیم اجام میدهیم با این تفوت که هرگاه نیاز به دکمه 1 شد سمت راست ترین رقم را تبدیل به یک می کنیم(یعنی هر گاه به دکمه 2 نیاز داشتیم اگر سمت راست ترین رقم یک بود آن را با استفاده از دکمه 1 صفر میکنیم )و هرگاه نیاز به دکمه 2 شد سمت راست ترین رقم را صفر میکنیم (یعنی اگر دکمه 1 نیاز بود درصورتی که سمت راست ترین رقم صفر بود دکمه 1 را میزنیم) در پایان نیز آن به سمت راست ترین رقم آن عدد که می خواهیم عدد اولیه به آن تبدیل شود نگاه می کنیم اگر با این رقم عدد تولید شده مطلابقت نداشت دکمه 1 را میزنیم.
پس حکم اثبات شد %%.

میخوایم اثبات کنیم که هر رقمی رو میتونیم عوض کنیم. استقرای قوی میزنیم. پایه: رقم 1 از سمت راست رو میتونیم عوض کنیم بدون اینکه ارقام سمت چپش عوض شن با زدن کلید 1 فرض تمام ارقام 1 تا i از راست رو میتونیم عوض کنیم بدون این که ارقام سمت چپ هر کدوم در هر عمل عوض شن حکم: رقم i+1 رو میتونیم عوض کنیم. بدون اینکه ارقام i+2 به بعد عوض شن. اثبات: رقم i رو 1 میکنیم و ارقام i-1 تا 1 رو صفر میکنیم حالا کلید 2 رو میزنیم و عدد i+1 عوض میشه حالا ارقام i تا 1 رو به حالت اولیه بر میگردونیم. و فقط رقم i+1 عوض شده حالا با این عمل از چپ به راست هر رقم از عدد اولیه رو نگاه میکنیم اگه با عدد نهایی یکی بود که ردش میکنیم اگه نبود هم عوضش میکنیم و همینجور میایم به راست و آخرش میرسیم به عدد نهایی.