(1)ردیف زوج rام رو در نظر بگیرید این ردیف دارای اعداد فرد$$ 1,3,\ldots,r+1 $$ هست .

ردیف فردrام رو در نظر بگیرید این ردیف دارای اعداد فرد$$ 2,4,\ldots,r+1 $$هست .

عدد $ r+1 $ دقیقا یکبار در ردیف $ r+1 $ام می اید

ردیف ز.ج $ r=2n $ را در نظر بگیرید با استقرا میتوان نشاد داد که دارای $$ \frac{2k+1}{n+k+1}\,\binom{2n}{n+k} $$ کپی از عدد فرد $ 2k+1 $ ($ 0\le k\le n $) است .

(2)هر کپی از $ 2k-1 $ در ردیف $ 2n-2 $یک کپی $ 2k+1 $را در ردیف $ 2n $ایجاد میکند

هر کپی از $ 2k+1 $ در ردیف $ 2n-2 $دو کپی $ 2k+1 $را در ردیف $ 2n $ایجاد میکند

هر کپی از $ 2k+3$ در ردیف $ 2n-2 $*یک * کپی $ 2k+1 $را در ردیف $ 2n $ایجاد میکند

(3)به طور خاص ردیف $ r=2n $ دارای دقیقا $$ \frac{1}{n+1}\,\binom{2n}{n} $$ عدد یک است

(4) حالا تابع $ f(r) $ را تعداد تمام اعداد ردیف rام بگیریم

میتوانیم ادعا میکنیم$ $ f(2n)=\binom{2n}{n} $$ و$ f(2n-1)=\frac{1}2\binom{2n}{n} $$و اینرو میتونیم با استقراروی n وبا پایه ی $ حل کنیم f(0)=f(1)=1 $

هر عدد زوج در ردیف فرد$ 2n-1 $دو عدد صحیح در ردیف $ 2n $ تولید میکندبنابراین $ f(2n)=2f(2n-1) $

هر عددفرد در ردیف زوج$ 2n $دو عدد صحیح در ردیف $ 2n+1 $ تولید میکند اما $ \frac{1}{n+1}\,\binom{2n}{n} $ صفر به خاطر وجود عدد 1 حذف میشود

بنابراین$ \frac{1}{n+1}\,\binom{2n}{n} $-( f(2n+1)=2f(2n=