اعداد را از $a_1$ تا $a_n$ برچسب میزنیم و آنها را به صورت صعودی مرتب میکنیم به طوری که $i < j$ اگر و تنها اگر $a_i < a_j$ .

یک چند جمله ای ویژه چند جمله ای است که تمام متغیر های درون آن میتوانند هر عدد حقیقی ای باشند.

دو چند جمله اي ویژه $A$ و $B$ را در نظر بگيريد که هرکدام شامل متغير هاي $a_i (1\le i \le n)$ به همراه ضرايب آنها هستند. اين چند جمله ای های ویژه را به اين صورت ميسازيم:

به ازاي هر $i$ و $j$ که $ i< j $ اگر $i$ و $j$ زوجیت یکسان داشته باشند، $a_j-a _i$ را به آخر چند جمله ای ویژه $A$ می افزاییم و در غیر این صورت آن را به آخر چند جمله ای ویژ $B$ می افزاییم. بعد از تکمیل فرایند (تمام زوج های نا مرتب ($i,j$) را انتخاب و در چند جمله های ویژه جای گذاری کرده باشیم.) چند جمله ای های ویژه را ساده میکنیم به طوری که به ازای هر $i$، ضریب متغیر $a_i$ یک ضریب مشخص داشته باشد.

اگر $i$ زوج باشد میدانیم چند جمله ای های ویژه $a_{i+2} - a_i , a_{i+4} - a_i , ... , a_{n-1} - a_i$ که تعداد آنها برابر $\frac {n-1-i}{2}$ است و همچنین چند جمله ای های ویژه $a_i - a_{i-2} , a_i - a_{i-4} , ... , a_i - a_2$ که تعداد آنها $\frac{i-2} {2}$ است در $A$ قرار دارند. پس ضریب $a_i$ برابر در $A$ $\frac{i-2} {2} - \frac {n-1-i}{2} = \frac {2i-1-n}{2}$ است. و این را نیز میدانیم چند جمله ای های ویژه $a_{i+1} - a_i , a_{i+3} - a_i , ... , a_n - a_i$ که تعداد آنها برابر $\frac {n-1-i}{2}$ است و همچنین چند جمله ای های ویژه $a_i - a_{i-1} , a_i - a_{i-3} , ... , a_i - a_1$ که تعداد آنها $\frac{i-2} {2}$ است در $B$ قرار دارند. پس ضریب $a_i$ در $B$ برابر $\frac{i-2} {2} - \frac {n-1-i}{2} = \frac {2i-1-n}{2}$ است. پس ضریب $a_i$ در $A$ و $B$ یکسان است. به دلیل مشابه برای $i$ های فرد نیز اثبات میشود. در نتیجه به ازای هر $i$ ضریب $a_i$ در $A$ و $B$ یکسان است. در نتیجه چند جمله ای ویژه $A$ با چند جمله ای ویژه $B$ برابر است. پس به ازای هر دنباله اگر اختلاف های آنها را مانند راه گفته شده تقسیم کنیم دو دسته با هم مجموع برابری دارند.