نمیدونم درسته یا نه

ولی روی n استقرا میزانیم پایه برای ۱ بدیهی است که میشه ۰ مثلث

برای 2n+1 فرض میکنیم و برای 2n+3 اثبات . راست ترین ۲ نقطه صفحه را در نظر میگیریم و انها را حذف میکنیم بدیهی است که تعداد مثلث های آن ۲ نقطه ۰ و زوج اند برای 2n+1 نقطه ی درون هم که طبق فرض درست است و برای ان ۲ نیز درست است حالا میماند پس از ورود انها چون انها ۲ تا اند اگر مثلثی برای نقطه ای درصفحه اضافه شود ۲ واحد اضافه خواهد شد پس باز هم زوج است

اول این دو حالت رو بررسی می کنیم که: 1) نقطه ی قرمز چپ ترین راست ترین بالاترین یا پایین ترین باشد(خوشبختانه فکر کنم همه بلدن که می توان این نقاط رو رویه صفحه مختصات گذاشت که هیچ دو تایی روی یک x یا y برابر نباشند) معلومه که داخل هیچ مثلثی نیست.

2) حالا اگه دومین چپ ترین یا راست ترین باشد میریم سراغ بالاترین و پایین ترین نقطه اگر اونجا هم دومین باشد فرض کنیم دومین بالاترین و راست ترین (شکل 1) در این حالت اگر مثلثی بخواهد دارای خاصیت سوال باشد باید یک نقطه اش v و هر نقطه ی دیگرش یکی سمت چپ خط d و دیگری سمت راست خط d چون نقاط سمت راست وچپ dجمعاً 2n-1 نقطه اند پس یک طرف تعداد نقاطش زوج است پس در کل تعداد مثلث هایی که دارای این خاصیت هستند زوج است.

حالات n=0,n=1 که بدیهی است میریم سراغ اثبات سوال:

طبق بررسی دو حالت بالا یا یه دو تا سمت راست ترین و دو تاچپ ترینی یا بالا ترین و پایین ترینی وجود دارد که قرمز نباشند اگر اینگونه نباشد حل است (در دو حالت بالا این حالات بررسی شده) فرض کنید دو تا بالاترین و دو تا پایین ترینی وجود دارد که قرمز نیست. هر چهار تا نقطه را کنار می گذاریم و به نقاط باقی مانده بجز نقطه ی قرمز گروه A می گوییم طبق فرض استقرا مثلث هایی که خاصیت سوال را دارند زوج اند سپس دو تا نقطه ی بالا ترین رو اضافه می کنیم باز هم طبق فرض استقرا تعداد مثلث هایی که خاصیت سوال رو دارند زوج اند (یعنی تعداد مثلث هایی هم که با حداقل یکی از این دو نقطه بوجود می آ ید زوج است بجز مثلث هایی که با دو نقطه ی پایین ترین بجود می آیند) دوباره این دو نقطه را بر می داریم و دو نقطه ی پایین ترینو اضافه می کنیم باز هم طبق فرض سوال مثلث هایی که این خاصیتو دارند زوج است (یعنی تعداد مثلث هایی هم که با حداقل یکی از این دو نقطه بوجود می آ ید زوج است بجز مثلث هایی که با دو نقطه ی بالاترین بوجود می آیند) تا الآن همه ی مثلث هاییرو که دارای این خاصیت هستند رو شمرده ایم جز مثلث هایی که با این چهار نقطه بوجود می آیند.

همانطور که در شکل 2 می بینید نقطه ی قرمز در یکی از 6 ناحیه بوجود آمده می تواند باشد که در هر ناحیه هم که باشد زوج تا به مثلث هایی با خاصیت سوال اضافه می شود.