ساختن جایگشتی که میانگین هیچ دو عددی بین آن دو نباشد
رنگ‌آمیزی صفحه بخش‌بندی شده توسط دایره‌ها با دو رنگ
رساندن حداقل یک مهره در جدول $2 ×n$ و $2^n$ مهره
دریک تورنمنت بدون تساوی تیمی هست که از بقیه‌ی تیم ها یا شخصا برده یا با یک واسطه!
بازی با سکه ها: 2001 سکه را به پشت برگردانید
حرکت دادن خانه‌ی خالی در جدول پر شده از دومینو ها
حذف چوب کبریت ها از یک جدول n در n
تنها 2n+1 نقطه در صفحه داریم که هیچ سه تایی هم خط نیستند . یکی از این نقاط را به دلخواه قرمز کرده ایم .
ثابت کنید تعداد مثلث هایی که نقطه ی قرمز درون آن قرار دارد عددی زوج است .
منظورت از " در آن " چیست ؟ یعنی توی یه مثلثه ؟ جزو رئوس مثلث نیست ؟ ( اگه اینطوریه ، باید توضیح بهتری میدادی )
2014-07-23 06:38:35 -0600 سماق دوسلام میدونستید انجمن علمی نخبگان دانشگاه صنعتی شریف مسابقه تخصصی مهارت سنجی برنامه نویسی و داده کاوی گذاشته است آدرس سایتش www.fanavard.com
2015-08-06 09:00:59 -0600 امیر شکرینمیدونم درسته یا نه
ولی روی n استقرا میزانیم پایه برای ۱ بدیهی است که میشه ۰ مثلث
برای 2n+1 فرض میکنیم و برای 2n+3 اثبات . راست ترین ۲ نقطه صفحه را در نظر میگیریم و انها را حذف میکنیم بدیهی است که تعداد مثلث های آن ۲ نقطه ۰ و زوج اند برای 2n+1 نقطه ی درون هم که طبق فرض درست است و برای ان ۲ نیز درست است حالا میماند پس از ورود انها چون انها ۲ تا اند اگر مثلثی برای نقطه ای درصفحه اضافه شود ۲ واحد اضافه خواهد شد پس باز هم زوج است
باز خوب است اولش گفتید نمی دونم درست است یا نه .... با کمال احترام راه حل شما مشکل دارد : در واقع سوال اینست که چرا تعداد مثلث هایی که با آن دو نقطه(راسترین نقاط) درست می شود و نقطه ی قرمز درون آن است زوج است!؟ درضمن برای یه همچین استقرایی پایه یک جواب نمی دهد.
2014-07-23 13:05:42 -0600 طوفاناول این دو حالت رو بررسی می کنیم که: 1) نقطه ی قرمز چپ ترین راست ترین بالاترین یا پایین ترین باشد(خوشبختانه فکر کنم همه بلدن که می توان این نقاط رو رویه صفحه مختصات گذاشت که هیچ دو تایی روی یک x یا y برابر نباشند) معلومه که داخل هیچ مثلثی نیست.
2) حالا اگه دومین چپ ترین یا راست ترین باشد میریم سراغ بالاترین و پایین ترین نقطه اگر اونجا هم دومین باشد فرض کنیم دومین بالاترین و راست ترین (شکل 1) در این حالت اگر مثلثی بخواهد دارای خاصیت سوال باشد باید یک نقطه اش v و هر نقطه ی دیگرش یکی سمت چپ خط d و دیگری سمت راست خط d چون نقاط سمت راست وچپ dجمعاً 2n-1 نقطه اند پس یک طرف تعداد نقاطش زوج است پس در کل تعداد مثلث هایی که دارای این خاصیت هستند زوج است.
حالات n=0,n=1 که بدیهی است میریم سراغ اثبات سوال:
طبق بررسی دو حالت بالا یا یه دو تا سمت راست ترین و دو تاچپ ترینی یا بالا ترین و پایین ترینی وجود دارد که قرمز نباشند اگر اینگونه نباشد حل است (در دو حالت بالا این حالات بررسی شده) فرض کنید دو تا بالاترین و دو تا پایین ترینی وجود دارد که قرمز نیست. هر چهار تا نقطه را کنار می گذاریم و به نقاط باقی مانده بجز نقطه ی قرمز گروه A می گوییم طبق فرض استقرا مثلث هایی که خاصیت سوال را دارند زوج اند سپس دو تا نقطه ی بالا ترین رو اضافه می کنیم باز هم طبق فرض استقرا تعداد مثلث هایی که خاصیت سوال رو دارند زوج اند (یعنی تعداد مثلث هایی هم که با حداقل یکی از این دو نقطه بوجود می آ ید زوج است بجز مثلث هایی که با دو نقطه ی پایین ترین بجود می آیند) دوباره این دو نقطه را بر می داریم و دو نقطه ی پایین ترینو اضافه می کنیم باز هم طبق فرض سوال مثلث هایی که این خاصیتو دارند زوج است (یعنی تعداد مثلث هایی هم که با حداقل یکی از این دو نقطه بوجود می آ ید زوج است بجز مثلث هایی که با دو نقطه ی بالاترین بوجود می آیند) تا الآن همه ی مثلث هاییرو که دارای این خاصیت هستند رو شمرده ایم جز مثلث هایی که با این چهار نقطه بوجود می آیند.
همانطور که در شکل 2 می بینید نقطه ی قرمز در یکی از 6 ناحیه بوجود آمده می تواند باشد که در هر ناحیه هم که باشد زوج تا به مثلث هایی با خاصیت سوال اضافه می شود.
