استقرا می زنیم: برای = 2 که واضح است مجموعه ی k را دو نقطه با فاصله ی 1 در نظر می گیریم. فرض می کنیم برای n چنین مجموعه ای وجود دارد - مجموعه ی k. حال برای n + 1 می خواهیم چنین مجموعه ای ارائه دهیم. بار اینکار هر نقطه ی s را با مجموعه ی n نقطه ای که با او فاصله ی واحد دارند در نظر می گیریم. s با هر کدام از این نقاط خطی می سازد و یک شیب ایجاد می کند. همه ی این شیب ها را به ازای هر نقطه ی صفحه که آن را s در نظر بگیریم فرض کنید. همچنین از هر نقطه دایره ای با شعاع 1 فرض کنید و شیب های نقاط تقاطع دایره ها نسبت به مرکز دایره ها را در در نظر بگیرید. چون بی نهایت شیب وجود دارد و تعداد متناهی شیب استفاده شده داریم می توانیم شیبی را در نظر بگیریم - مثلا a - که با هیچکدام از این شیب ها برابر نیست. حالا دو تا k را در نظر بگیرید که هر هر نقطه k1 نسبت به نقطه ی متناظرش در k2 شیب a داشته باشد. در این دو تا k هیچ دو نقطه ای روی هم نمی افتند - وگرنه اثبات می شود a بین دو نقطه وجود داشته است در صورتی که ما a را متفاوت با هر شیب موجود گرفته ایم. دقت کنید که این مجموعه حتما کمترین تعداد نقطه را ندارد. حال اثبات می کنیم هر نقطه دقیقا با n + 1 نقطه فاصله 1 دارد. نقطه ی s را در نظر بگیرید و فرض کنید s در k1 قرار دارد. s - طبق فرض- با دقیقا n نقطه در k1 و با لااقل 1 نقطه در k2 فاصله یک دارد. اثبات می کنیم با دقیقا 1 نقطه در k2 فاصله 1 دارد. با نقطه ی متناظرش در k2 - که t نام دارد - یک واحد فاصله دارد و اگر نقطه ی دیگری باشد در k2 که با او یک واحد فاصله دارد - مثلا 't - و متناظر 't در k1، برابر 's باشد پس 't روی نقطه ی برخورد دایره ی به شعاع یک از s و از 's است درصورتی که ما a را طوری در نظر گرفتیم که چنین اتفاقی نیوفتد. اگه ابهامی بود بگین شکل بزارم.