فرض می کنیم a < b و همیشه حرکت ها را به شیوه ای انجام می دهیم که قورباغه در سمت چپ عدد b قرار داشته باشد.(می دانیم چنین چیزی ممکن است)

b-a را در مبنای ۲ در نظر می گیریم.و رشته ی دودویی حاصل را x می نامیم.

مقدار بدی های رشته ی x را برابر با تعداد صفر و یک های مجاور تعریف می کنیم.مثلا بدی های ۰۱۰۱ برابر ۳ و بدی های ۱۰۰۰۱۱۰۱ برابر ۴ می باشد.

می خواهیم ببینیم که هر حرکت قورباغه چه تغییری در x ایجاد می کند.۴ حالت زیر ممکن است اتفاق بیفتد:

۱.یک بیت صفر را به یک تغییر مقدار دهیم.در این صورت مقدار بدی های رشته به اندازه۰ یا ۲ کاهش می یابد.

۲.یک بیت یک را به صفر تغییر مقدار دهیم.در این صورت مقدار بدی های رشته به اندازه ۰ یا۲ کاهش می یابد.

۳.یک بیت یک افزایش مقدار پیدا کند.در این صورت بک مجموعه از یک های متوالی به صفر تبدیل شده و در انتها یک صفر به یک تبدیل می شود.در این حالت نیز واضح است که مقدار بدی های x حداکثر به اندازه ۲ کاهش می یابد.

۴.از یک بیت صفر کم شود.در این حالت طبق فرض یک بیت یک با ارزش بیتر موجود است(در غیر این صورت قورباغه به سمت راست b پرش خواهد کرد که تناقض است.)در این حالت ان یک به صفر تبدیل شده و تعدادی از صفر های متوالی به یک تبدیل می شوند.با کمی دقت مشخص است که در این حالت نیز حداکثر به اندازه ی ۲ از مقدار بدی های x کاسته خواهد شد.

مشخص شد که در هر حرکت قورباغه مقدار بدی ها حداکثر به اندازه ۲کم خواهد شد.

و می دانیم که مقدار بدی های حالت نهایی صفر است.

حال رشته ی ۰۱۰۱۰۱...۰۱۰۱۰ (۱۰۰۰ رقمی )را در نظر بگیرید.واضح است که مقدار بدی های ابتدایی این رشته برابر ۹۹۹ است و برای برای رسیدن به حالت نهایی حداقل به ۵۰۰ پرش نیاز است و حکم ثابت است.

جواب من براش اینجوریه، یه کمی خوب نیست و ریاضوی هست ولی جوابه دیگه: